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メールレターバックナンバー
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>>>>> ＡＢＣ 証券アナリスト メールレター Ｖｏｌ．６６ <<<<<
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■■□──────────────────────２００９／１１／３０号
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【１】 第１次レベル リスク態様と期待効用関数
【２】 第２次レベル 誘導型アプローチによるデフォルト債評価
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【１】 第１次レベル リスク態様と期待効用関数
株式や債券などの証券投資や消費計画を考えるとき、その投資がどの
程度のリスクを持ち、どの程度のリターンが得られるかが問題となる。
投資によってもたらされるリターンとリスクが不確実であるため、不確
実下での意思決定を考える必要がある。その意思決定において投資家の
効用関数が重要な要素となる。
１．リスクと効用関数
投資家の効用Ｕは資産価値χ（もしくは、消費計画、以下同様）の増
加関数として定義されるとき、資産χ円の投資家の効用Ｕ（χ）が、次
式として与えられたとする。
Ｕ（χ）＝ａχ−χの２乗 （なお、ａは定数項である）
具体的に、次のような効用関数であるとする。
Ｕ（χ）＝300χ−χの２乗
今、資産Ａについて、(a)確実に価値を得ることができる場合と(b)不
確実な価値しか得ることができない場合の２つがあるとする。このとき、
上記の効用関数の下における効用はいくらか計算してみる。
┌(a) 確実に75万円が得られる場合
└(b) 確率１／２で100万円、確率１／２で50万円の不確実な価値が得
られる場合
(a)確実な資産価値が得られる効用と(b)不確実な資産価値が得られる
効用は次のとおりである。
【(a)確実な資産価値（χ＝75万円）の効用】
Ｕ（χ）＝Ｕ（Ｅ［χ］）＝300・χ−χの２乗
＝300・75−75の２乗＝16,875
【(b)不確実な資産価値の効用】
不確実な資産の効用とは、それぞれの資産価値の効用にその生起確率
を用いて計算された将来得られるであろう期待効用のことである。
将来得られるであろう期待効用Ｅ（Ｕ）は、次式より求められる。
なお、Ｅは予想または期待のExpectationの頭文字、ｐは確率のproba
bilityの頭文字、ｉは事象が起きる状態を示す。
┌──────────────────────────┐
│Ｅ［Ｕ（χ）］＝Σｐ(i) ・Ｕ（χ(i)) │
│ 期待効用＝Σ（生起確率×資産価値の効用） │
└──────────────────────────┘
＝［１／２・Ｕ(χ＝100)］＋［１／２・Ｕ(χ＝50)］
＝（１／２・20,000）＋（１／２・12,500）＝16,250
以上から、確実な資産75万円から得られる効用Ｕ(Ｅ［χ］)は16,875、
不確実な資産の期待資産価値75万円から得られる期待効用Ｅ［Ｕ(χ)］
は16,250であり、確実な資産価値75万円の効用の方が大きい。
つまり、同じ期待資産価値を生み出すものであっても、確実に得られ
る資産価値の効用Ｕ(Ｅ［χ］)の方が不確実な資産価値の期待効用（関
数）Ｅ［Ｕ（χ）］よりも大きい。
この効用関数は、次の２つの性質を満たす。
┌(a) 資産価値（貨幣額）が大きければ大きいほど、効用が大きい。
└(b) 保有する資産価値（貨幣額）が大きくなればなるほど、追加的
に得られる１円当たりの効用（限界効用）の増加分は小さくなる。
これを限界効用逓減の法則という。
上記(b)の性質を満たすものであれば、この投資家はリスク回避者であ
り、この効用関数は、（下に見て）凹型の形状（凹関数という）になる。
２．リスク態様と期待効用関数
(1) リスク回避型の期待効用関数
下に凹型の効用関数をもつ投資家をリスク回避的（者）という。
┌──────────────────────────────┐
│下に凹関数の条件：リスク回避的投資家 │
│ → Ｕ（Ｅ［χ］）＞Ｅ［Ｕ（χ）］ │
└──────────────────────────────┘
(2) リスク愛好型の期待効用関数
リスク愛好的な投資家は、資産価値が増加するほどにどん欲にお
金を求めるので、効用はより以上に逓増する。
┌──────────────────────────────┐
│下に凸関数の条件：リスク愛好的投資家 │
│ → Ｕ（Ｅ［χ］）＜Ｅ［Ｕ（χ）］ │
└──────────────────────────────┘
(3) リスク中立型の期待効用関数
リスク中立的な投資家はリスクを無視するので、資産価値が増加
しても効用の増加は逓減も逓増もせず、直線的に増加する。
┌──────────────────────────────┐
│効用関数は直線：リスク中立的投資家 │
│ → Ｕ（Ｅ［χ］）＝Ｅ［Ｕ（χ）］ │
└──────────────────────────────┘
以上をまとめると、次のようになる。
① リスク回避的な投資家ほど、確実な投資計画の方を同じ期待値
を持つ不確実な投資計画より好むので、不確実な投資計画に要求
するリスクプレミアムは大きくなる。
② リスク愛好的な投資家は、確実な投資計画の効用よりも不確実
な投資計画の効用が大きいので、要求するリスク・プレミアムは
負となる。
③ リスク中立的な投資家の場合、「確実な投資計画の効用」と
「同じ期待値を持つ不確実な投資計画の効用」は同じ（無差別）
なので、リスク・プレミアムはゼロとなる。
┌──────┬─────────────┬─────┬─────┐
│ 投資家 │ 効用の大小 │ﾘｽｸﾌﾟﾚﾐｱﾑ │関数の形状│
├──────┼─────────────┼─────┼─────┤
│リスク回避者│Ｕ［Ｅ(χ)］＞Ｅ［Ｕ(χ)］│ 正 │ 凹関数 │
├──────┼─────────────┼─────┼─────┤
│リスク愛好者│Ｕ［Ｅ(χ)］＜Ｅ［Ｕ(χ)］│ 負 │ 凸関数 │
├──────┼─────────────┼─────┼─────┤
│リスク中立者│Ｕ［Ｅ(χ)］＝Ｅ［Ｕ(χ)］│ ゼロ │ 直線 │
└──────┴─────────────┴─────┴─────┘
３．確実性等価額とリスク・ディスカウント額
(1) 確実性等価額
確実性等価額とは、「確実な資産価値の効用 (左辺）」と「不確
実な資産の期待効用 (右辺）」とが等しくなる資産価値額Ｘをいう
Ｕ（Ｘ）＝Ｅ［Ｕ（χ）］
Ｕ［Ｅ（Ｘ）］＝Ｅ［Ｕ（χ）］
「確実な資産価値」の効用＝「不確実な資産」の期待効用
(2) 不確実な資産価値の期待効用
もし仮に、将来の株価が確率１／２で100万円得られ、確率１／２
で50万円が得られるとする。この不確実な資産価値の期待効用
Ｅ［Ｕ（χ）］は16,250と計算された。
この時、リスク回避的な投資家の効用関数から、16,250という効
用をもたらす資産価値額が確実性等価額Ｘという。
Ｅ［Ｕ（χ）］＝Ｕ（Ｘ）
∴ Ｅ［Ｕ（χ）］＝16,250＝Ｕ（Ｘ）
Ｕ（Ｘ）＝300・Ｘ−（Ｘ）の２乗＝16,250
この確実性等価額Ｘは、２次方程式の解の公式を利用して求める
ことができる。
(−)(Ｘ) の２乗＋300・Ｘ＋（−）16,250＝０
Ｘ＝70.94万円
￣￣￣￣￣
(3) リスク・ディスカウント額
確実性の下における資産（株価）の価値Ｅ（χ）と不確実性の下
における確実性等価額Ｘとの差額をリスク・ディスカウント額とい
う。
リスク・ディスカウント額＝Ｅ（χ）−Ｘ
＝75万円−70.94万円＝4.06万円
つまり、確実に75万円が得られる資産の価値（価格）と比較し、
75万円という期待値が得られる不確実な資産価値は70.94万円とい
うことである。不確実に見合ったリスク相当分、リスク資産の価格
は値引きされているからである。
【２】 第２次レベル 誘導型アプローチによるデフォルト債評価
この誘導型アプローチによるモデルは、デフォルト債が生み出す将来
キャッシュフローを離散型の２項分布モデルで仮定するものである。
このモデルでは、デフォルト確率を(1)リスク中立デフォルト確率を用
いて評価する方法と(2)実績デフォルト確率を用いて評価する方法がある。
(1) リスク中立デフォルト確率を用いた評価
ここでの「リスク中立デフォルト確率」とは、投資家がリスクを考
慮せず期待値のみに関心を持つという意味での中立的（リスクフリー
・レートが確保できる確率＝リスク中立確率という）であることを意
味するのでは無く、投資家のリスク回避（あるいは愛好）傾向を織り
込んで計算されたデフォルト確率を意味する。
リスク回避的な投資家は、リスク中立的なデフォルト確率を実際の
デフォルト確率より、回避傾向を織り込んで高く推定していると思わ
れる。
今、残存期間１年のデフォルトのある割引社債があり、そのリスク
中立デフォルト確率をｐ、デフォルト時の回収率をＲＲ（80％）、ま
たは、デフォルト時の損失率をＬＧＤ（ＬＧＤ：Loss Given Default
rate ）（＝１−ＲＲ）と見積もられていたとする。この時、１年物
無リスク金利（１年物スポット・レート）がＲ(F)％、１年後の元本
償還額Ｃ(ｔ＝１)＝Ｃ(1)とする。
この場合のデフォルト債の価格ＰＶ(0) は、次のように計算される。
１年後の期待回収額 Ｅ（Ｃ(1))
ＰＶ(0) ＝──────────────＝───────
（１＋リスクフリー・レート） （１＋Ｒ(F))
ｐ(1) ・ＲＲ・Ｃ(1) ＋（１−ｐ(1))・Ｃ(1)
＝──────────────────────
（１＋Ｒ(F))
又は、
┌────────────────────────────┐
│ ｐ・(1−ＬＧＤ(1))・Ｃ(1)＋(1−ｐ)・Ｃ(1) │
│ＰＶ(0)＝────────────────────── │
│ （１＋Ｒ(F)) │
└────────────────────────────┘
また、分子の期待回収額を展開すると次式を求めることができる。
Ｅ(Ｃ(1))＝ｐ(1)・(１−ＬＧＤ(1))・Ｃ(1)＋(１−ｐ(1))・Ｃ(1)
＝ｐ(1)・Ｃ(1)−ｐ(1)・ＬＧＤ(1)・Ｃ(1)
＋Ｃ(1)−ｐ(1)・Ｃ(1)
＝Ｃ(1)−ｐ(1)・ＬＧＤ(1)・Ｃ(1)
＝(１−ｐ(1)・ＬＧＤ(1))・Ｃ(1)
この時の（１−ｐ(1)・ＬＧＤ(1))を確実性等価係数といい、α(1)
と表記する。
┌────────────────┐
│ α(1)＝１−ｐ(1) ・ＬＧＤ(1) │
└────────────────┘
デフォルト債がある場合、デフォルト確率を考慮し、確実に回収でき
る金額に等しくする係数という意味である。つまり、デフォルト債の評
価額である。
この確実性等価係数を用いて、デフォルト債を評価すると次のように
なる。
ｐ(1)・(１−ＬＧＤ(1))・Ｃ(1)＋(１−ｐ(1))・Ｃ(1)
ＰＶ(0) ＝──────────────────────────
（１＋Ｒ(F))
（１−ｐ(1)・ＬＧＤ(1))・Ｃ(1) α(1) ・Ｃ(1)
＝─────────────────＝────────
（１＋Ｒ(F)) （１＋Ｒ(F))
Ｃ(1)
＝α(1) ・───────
（１＋Ｒ(F))
以上により、デフォルト債の現在価値ＰＶ(0) とデフォルトのない現
在価値ＺＶ(0)（＝Ｃ(1)／(１＋Ｒ(F))が市場で取引されており、その
市場価格が開示されていれば、確実性等価係数α(1)は次式のように推
定することができる。
Ｃ(1)
ＰＶ(0) ＝α(1) ・───────
（１＋Ｒ(F))
┌────────────────────────────┐
│ Ｃ(1) │
│∴ α(1)＝ＰＶ(0)／［──────］＝ＰＶ(0)／ＺＶ(0) │
│ (１＋Ｒ(F)) │
└────────────────────────────┘
(2) 実績デフォルト確率を用いた評価
デフォルト債の評価を、今度は実際のデフォルト確率によりデフォ
ルト債の評価を考える。
そこで、先ず、実績デフォルト確率の計算式を明らかにする。
┌───────────────────────────────┐
│ その期末における倒産件数(Ｄ(1)) │
│実績デフォルト確率(ｐＤ(1))＝──────────────── │
│ 期首における貸付先数(Ｎ(0)) │
└───────────────────────────────┘
この実績デフォルト確率ｐＤ(1) を用いてデフォルト債を評価する
場合、実績デフォルト確率ｐＤ(1) には投資家のリスク選好が織り込
まれていないため、信用リスク選好を評価式の分母（つまり、割引率）
に反映しなければならない。つまり、割引率として信用リスク・プレ
ミアムＲ(P) を上乗せしたリスク調整済の割引率（ＲＡＤＲ：Risk
Adjusted Discount Rate）を用いなければならない。
よって、実績デフォルト確率を用いたデフォルト債の評価式は、次
式として表わされることになる。
ｐＤ(1)・(1−ＬＧＤ(1))・Ｃ(1)＋(1−ｐＤ(1))・Ｃ(1)
ＰＶ(0)＝──────────────────────────
（１＋Ｒ(F))・(１＋Ｒ(P))
┌─────────────────────────┐
│ （１−ｐＤ(1)・ＬＧＤ(1))・Ｃ(1) │
│ＰＶ(0) ＝─────────────────── │
│ （１＋Ｒ(F) ）・（１＋Ｒ(P) ） │
└─────────────────────────┘
実績デフォルト確率に基づいた確実性等価係数α(1) は、次のとお
りである。
ＰＶ(0) ＝確実性等価係数・デフォルトなし現在価値
（１−ｐＤ(1) ・ＬＧＤ(1)) Ｃ(1)
＝────────────── ・ ────────
（１＋Ｒ(P) ） （１＋Ｒ(F) ）
┌────────────────────┐
│ （１−ｐＤ(1)・ＬＧＤ(1)) │
│α(1) ＝─────────────── │
│ （１＋Ｒ(P)） │
└────────────────────┘
以上
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次回も乞うご期待！！！
テーマは、お楽しみに！！！
ご希望がございましたら、是非お寄せください！！！
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